Ci si propone di affascinare e interessare i ragazzi mostrando come le proporzioni ed i teoremi affrontati si ricolleghino ad un tema che ha una forte interdisciplinarità: la sezione aurea. Si definisce sezione aurea di un segmento quella parte di segmento che è media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente.
Si calcola insieme il rapporto aureo e si analizza come sia possibile costruire, attraverso una costruzione geometrica, la sezione aurea di un segmento dato ed anche costruire il segmento del quale quello dato è la sezione aurea. In questo modo i ragazzi possono applicare le conoscenze acquisite nel campo della similitudine e delle proporzioni. Si dimostra, sfruttando le proprietà della proporzioni, che ogni segmento è sezione aurea di quello che si ottiene se gli si somma la sua sezione aurea. È come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione o addizione, è anche questo aspetto che le fornisce “qualcosa di magico”. Viene introdotto il rettangolo aureo con le sue proprietà. Si affronta un’analisi storica e si sottolinea come già nell’antichità si siano trovati esempi dell’utilizzo del rapporto aureo. Anche i Greci ne fecero ampio uso, il simbolo Φ è stato dato al rapporto aureo in onore di Fidia, progettista del Partenone di Atene nel quale si ritrovano molti rettangoli aurei. Nel rinascimento il rapporto aureo divenne un canone di bellezza e di armonia. Si fanno esempi in natura nei quali si ritrova il rapporto aureo e si spiega che anche oggi è sfruttato, ad esempio, in arredamenti, nella costruzione di tessere telefoniche, carte di credito; si invitano i ragazzi a misurare le dimensioni delle loro tessere per la fotocopiatrice e verificare che il loro rapporto è molto vicino al rapporto aureo. I ragazzi si entusiasmano e si mostrano proprio incuriositi, non avevano mai sentito parlare di sezione aurea. Si approfitta della rete tra i computer in laboratorio per mostrare e proiettare sui vari monitor diversi esempi nei quali si è ritrovata la presenza del rapporto aureo nell’antichità, in natura, in arte.
Costruzione della sezione aurea del segmento AB:
Si consideri il segmento AB e si costruisca un segmento OB perpendicolare ad AB e lungo la metà; si consideri il segmento AO e su di esso un segmento OE di lunghezza pari a OB; su AB si prenda un segmento AC di lunghezza pari ad AE. Il segmento AC è il medio proporzionale fra AB e CB.
AB : AC = AC : CB
Osservazione:
Si consideri AB = 1
Quindi possiamo scrivere AC + CB = 1
Considerando la proporzione CB : AC = AC : AB
Otteniamo AC2 = CB*AB
Considerato che CB = 1 – AC ed AB = 1
Possiamo scrivere AC2 = (1 – AC) *1
Ossia AC2 + AC – 1 = 0 Da cui AC = 0,618
Quindi riprendendo la relazione AC + CB = 1
Abbiamo CB = 0,382 da cui Φ = AC/CB = 1,618 che rappresenta il cosiddetto rapporto aureo o numero aureo.
Dimostrazione:
- Per il teorema delle tangenti e delle secanti AD : AB = AB : AE
- Per costruzione AD = AE + ED, ED = AB ed AE = AC
- Perciò AD=AC + AB
- Sostituendosi ha che AC + AB : AB = AB : AC
- Quindi scomponendo AC + AB – AB : AB = AB – AC : AC AB – AC = CB AC : AB = CB : AC
- Quindi invertendo AB:AC=AC:CB
Costruzione del segmento AB a partire da AC, sua sezione aurea:
Si consideri il quadrato ACDF e del lato AC; si prenda il punto medio EA partire da E sul prolungamento del segmento AC si consideri un segmento EB di lunghezza pari a ED. Il segmento AC è medio proporzionale fra AB e CB
Dimostrazione:
- Il triangolo HDB è retto in D, perché HB è il diametro della circonferenza di centro E
- Per il II teorema di Euclide DC è medio proporzionale fra HC e CB, ossia: HC : DC = DC : CB
- Per costruzione HC = AB e DC = AC
- Quindi sostituendo si ha: AB : AC = AC : CB
- Il rettangolo aureo, i cui lati a e b sono in proporzione aurea, è illustrato più sotto:
Se da questo rettangolo eliminiamo il quadrato B di lato b, il restante rettangolo A è a sua volta un rettangolo aureo. Infatti il rapporto tra i suoi lati (b/a – b) = a/b = Φ
Iterando questo procedimento, si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli.
Quindi si procede attraverso l’uso dell’ambiente di programmazione Matcos alla costruzione di una Sezione Aurea ed il rettangolo aureo corrispondente. Definiamo il programma in linguaggio MatCos:
RIFCART;
A=Punto(2,2);
B=Punto(8,2);
C=Punto(8,5);
D=Segmento(A,B);
D1=Segmento(B,C);
D2=Segmento(C,A);
C1=Circ(C,3);
R=Retta(A,C);
E=Intersezione(C1,R);
R2=Distanza(A,E);
C2=Circ(A,R2);
R1=RETTA(A,B);
F=INTERSEZIONE(C2,R1);
AB=Distanza(A,B);
AF=Distanza(A,F);
FB=Distanza(F,B);
STAMPA("LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO CONSIDERATO È PARI A ",AB);
STAMPA("LA LUNGHEZZA DELLA SEZIONE AUREA È PARI A ",AF);
STAMPA("LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO PIÙ CORTO È PARI A ",FB);
RAPPORTO=(AF/FB);
STAMPA("IL RAPPORTO AUREO CONSIDERATI I SEGMENTI È PARI A ",RAPPORTO);
RAPPORTO1=(FB/AF);
STAMPA("IL RAPPORTO FB/AF È PARI A ",RAPPORTO1);
RAPPORTO2=(AF/AB);
STAMPA("IL RAPPORTO AF/AB È PARI A ",RAPPORTO2);
D3=Segmento(F,B);
Ruota(D3,F,90,ANTIORARIO);
Z=PUNTO(5.7,4.3);
D4=SEGMENTO(F,Z);
D5=Segmento_Or(F,A);
TRASLA(D4,D5);
Q=PUNTO(2,4.3);
D6=SEGMENTO(A,F);
D7=Segmento_Or(A,Q);
TRASLA(D6,D7);
ColoreRiempimento(255,0,0);
RETT=POLIGONO(A,F,Z,Q);
FZ=Distanza(F,Z);
RAUREO=(AF/FZ);
STAMPA("IL RAPPORTO AUREO CONSIDERATO IL RETTANGOLO COSTRUITO È PARI A ",AUREO);
CANCELLA(B,C,D1,D2,C1,R,E,R2,C2,R1,D,D3,D4,D5,D6,D7,A,F,Z);
