Enunciato: Un fascio di rette parallele secante due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.
Il teorema afferma in pratica che se prese tre parallele a,b,c taglianti due rette trasversali r e rI, rispettivamente nei punti A, B, C e AI, BI, CI, allora il rapporto tra i segmenti omologhi dell’una e dell’altra è sempre costante.
AB : AIBI = BC : BICI
Inoltre se presi AC e AICI, segmenti omologhi, si ha tra loro lo stesso rapporto di AB con AIBI e di BC con BICI, ovvero:
AB/AIBI = BC/BICI = AC/AICI = (AB + BC)/(AIBI + BICI)
Queste relazioni permettono di trovare la lunghezza di uno qualsiasi dei segmenti della quaterna, a patto di averne almeno uno dello stessa traversa e due dell’altra, o la loro somma.
AB = (AIBI * BC)/BICI = (AC * (AICI – BICI))/AICI = (BC * AIBI)/ (AICI – AIBI)
Ovviamente queste relazioni valgono presa qualsiasi coppia di segmenti omologhi. Dimostrazione Euclide dimostra il teorema di Talete indirettamente, attraverso un mirabile uso delle proporzionalità fra le aree dei triangoli, pertanto potrebbe essere di non così immediata comprensione il legame fra la seguente dimostrazione e il risultato finale, ossia la verifica del teorema in questione.
“Se una linea retta è disegnata parallela ad uno dei lati di un triangolo, allora taglia proporzionalmente i lati del triangolo...” Sia dato un triangolo ABC, tagliato da un segmento DE parallelo a uno dei suoi lati (in questo caso BC). Si avrà quindi, secondo la tesi del teorema, che BD sta ad AD come CE sta ad AE:
BD : AD = CE : AE
Si congiungano gli estremi di DE con gli opposti del lato parallelo, evidenziando così i due triangoli BDE e CDE. Tali triangoli sono equiestesi, hanno cioè la medesima area, in quanto possiedono la stessa base e sono tra le medesime parallele DE e BC. Il segmento DE ha anche creato il triangolo ADE e, siccome a “grandezze” uguali corrispondono rapporti uguali con la stessa “grandezza” [Prop. V.7], il triangolo BDE sta a ADE, esattamente come CDE sta ad ADE:
BDE : ADE = CDE : ADE
Ma il triangolo BDE sta a ADE come BD sta a DA, perché avendo la stessa altezza (nel caso in esempio DE) devono stare l’uno all’altro come le rispettive basi [Prop. VI.1], così come, per la stessa ragione, il triangolo CDE sta ad ADE, come CE sta ad EA. Per tanto BD sta a DA, come CE sta ad AE:
BD : AD = CE : AE
Dal teorema di Talete, come si evincere dalla dimostrazione, derivano due importanti corollari complementari, che assieme costituiscono per intero l’originaria proposizione di Euclide
- Una retta parallela al lato di un triangolo determina segmenti proporzionali sugli altri due lati
- Una retta che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato
A questo punto si invitano gli allievi a verificare il “Teorema di Talete” attraverso l’utilizzo delle nuove tecnologie. In particolare si procederà attraverso l’ambiente di programmazione Matcos a simulare ripetuti esempi di quanto affermato dal teorema di talete, al fine di verificare che effettivamente quanto affermato corrisponde al vero. Si procede alla definizione dell’algoritmo ed alla sua implementazione in ambiente Matcos.
ColorePenna(255,255,255);
RifCart;
ColorePenna(0,0,255);
A=Punto;
B=Punto;
R=Retta(A,B);
C=Punto;
P=Parallela(R,C);
D=Punto;
P1=Parallela(R,D);
E=PUNTO; F=PUNTO;
G=PUNTO;
H=PUNTO;
P2=Retta(E,F);
P3=Retta(G,H);
I=Intersezione(P2,R);
L=Intersezione(P2,P);
M=Intersezione(P2,P1);
N=Intersezione(P3,R);
O=Intersezione(P3,P);
P=Intersezione(P3,P1);
DML=Distanza(M,L);
DLI=Distanza(L,I);
DPO=Distanza(P,O);
DON=Distanza(O,N);
RAPP1=DML/DLI;
RAPP2=DPO/DON;
STAMPA("IL RAPPORTO 1 RISULTA PARI A ",RAPP1);
STAMPA("IL RAPPORTO 2 RISULTA PARI A ",RAPP2);
